כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר )אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר( תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
הגדרה 1.1. נאמר ששלשה \(\left(a,b,c\right)\in\MKnatural^{3}\) היא שלשה פיתגורית אם מתקיים \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).
הגדרה 1.2. תהא \(\left(a,b,c\right)\in\MKnatural^{3}\) שלשה פיתגורית, נאמר שהיא שלשה פיתגורית פרימיטיבית אם \(\gcd\left(a,b,c\right)=1\).
הגדרה 1.3. יהי \(k\in\MKinteger\) חופשי מריבועים, נאמר שפתרון \(\left(a,b,c\right)\in\MKnatural^{3}\) של המשוואה \(x^{2}+ky^{2}=z^{2}\) הוא פתרון פרימיטיבי אם \(\gcd\left(a,b,c\right)=1\).
\(\clubsuit\)
ניתן להוכיח שלכל \(k\in\MKnatural\) חופשי מריבועים ופתרון פרימיטיבי \(\left(a,b,c\right)\) מתאים המספרים \(a\), \(b\) ו-\(c\) זרים בזוגות.
\(\clubsuit\)
בכל המקרים הללו אנחנו לא מתעניינים בפתרונות ב-\(\MKinteger^{3}\) מפני שהפתרונות \(\left(0,0,0\right)\), \(\left(\pm1,0,\pm1\right)\) ו-\(\left(\pm1,0,\mp1\right)\)1כש-\(k=1\) )שלשות פיתגוריות( נוספים גם הפתרונות \(\left(0,\pm1,\pm1\right)\) ו-\(\left(0,\pm1,\mp1\right)\). הם טריוויאליים וכל פתרון שבו כל האיברים שונים מ-\(0\) הוא שיקוף של פתרון ב-\(\MKnatural^{3}\). א"כ נרצה למצוא את כל השלשות הפיתגוריות הפרימיטיביות, נשים לב שלשם כך מספיק למצוא רק את השלשות הפרימיטיביות ושבכל שלשה כזו \(c\)2כלומר היתר, המספר שנמצא לבדו בצד אחד של המשוואה בניסוחה הקלאסי: \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). מוכרח להיות אי-זוגי שכן אחרת נקבל ש-\(4\mid c\) וזה בלתי אפשרי מפני שהוא סכום של ריבועים ולכן הדבר יגרור ש-\(a\equiv b\equiv0\mod4\) )השאריות הריבועיות היחידות מודולו \(4\) הן \(0\) ו-\(1\)(, מכאן שמבין \(a\) ו-\(b\) אחד זוגי )מקובל לבחור את \(b\)( והאחר אי-זוגי.
סימון:
לכל \(k\in\MKinteger\) חופשי מריבועים ולכל \(m,n\in\MKnatural\) נסמן:\[
d_{k}\left(m,n\right):=\gcd\left(m^{2}-kn^{2},2mn,m^{2}+kn^{2}\right)
\]
\(\clubsuit\)
שימו לב שקבוצת הפתרונות הממשיים של המשוואה היא אליפסה, יש למשפט הוכחה גאומטרית יפהפייה שאותה נראה בקובץ ההוכחות.
\(\clubsuit\)
אם היינו מקבלים \(k\) שאינו חופשי מריבועים היינו פועלים כך: יהיו \(p,q\in\MKnatural\) כך ש-\(pq=k\), \(q\) חופשי מריבועים ו-\(p\) הוא ריבוע ויהי \(s\in\MKnatural\) כך ש-\(p=s^{2}\). מכאן שהמשוואה \(x^{2}+ky^{2}=z^{2}\)שקולה למשוואה \(x^{2}+q\left(sy\right)^{2}=z^{2}\) ולכן כל פתרון שלה מקיים ש-\(\left(x,sy,z\right)\) הוא פתרון של המשוואה \(x^{2}+qy^{2}=z^{2}\) ו-\(q\) חופשי מריבועים, ומצד שני לכל פתרון של המשוואה \(x^{2}+qy^{2}=z^{2}\) כך ש-\(s\mid y\) מקיים ש-\(\left(x,\frac{y}{s},z\right)\) הוא פתרון של המשוואה \(x^{2}+ky^{2}=z^{2}\).
\(\clubsuit\)
ניתן לשנות את המקדם של \(x^{2}\) אולם המקדם הזה מוכרח להיות ריבוע כדי שנוכל למצוא פתרון כדוגמת \(\left(-1,0\right)\) שביחס אליו נבנה את השיפועים של כל הפתרונות האחרים )ראו את ההוכחה בקובץ ההוכחות(.
\(\clubsuit\)
סימן לזיכרון: הפרש ריבועיהם, כפל מכפלתם וסכום ריבועיהם )תיבת האוצרות של פרופסור סטיוארט, הוצאת כינרת-זמורה ביתן, עמוד75(.
משפט 1.4. יהי \(k\in\MKinteger\) חופשי מריבועים ויהא \(\left(a,b,c\right)\in\MKnatural^{3}\) פתרון פרימיטיבי למשוואה \(x^{2}+ky^{2}=z^{2}\), קיימים \(n,m\in\MKnatural\) יחידים כך ש-\(m>n\) המקיימים3השלשה \(\left(n^{2}-km^{2},2nm,n^{2}+km^{2}\right)\) אינה בהכרח פתרון פרימיטיבי: קחו כל פתרון פרימיטיבי, מצאו את ה-\(n\) וה-\(m\) שלו )יש כאלה לפי המשפט( הגדירו \(n_{0}:=q\cdot n,\ m_{0}:=q\cdot m\) עבור \(1<q\in\MKnatural\) כלשהו ותקבלו ש-\(n_{0}\) ו-\(m_{0}\) )באמצעות אותה נוסחה( יוצרים פתרון שאינו פרימיטיבי )כל האיברים בשלשה מתחלקים ב-\(q^{2}\)(.:\[
a=\frac{m^{2}-kn^{2}}{d_{k}\left(m,n\right)},\ b=\frac{2mn}{d_{k}\left(m,n\right)},\ c=\frac{m^{2}+kn^{2}}{d_{k}\left(m,n\right)}
\]ולכל \(n,m\in\MKnatural\) כך ש-\(m>n\) השלשה \(\left(n^{2}-km^{2},2nm,n^{2}+km^{2}\right)\) היא פתרון של המשוואה \(x^{2}+ky^{2}=z^{2}\).
מסקנה 1.5. תהא \(\left(a,b,c\right)\in\MKnatural^{3}\) שלשה פיתגורית פרימיטיבית כך ש-\(b\) זוגי; קיימים \(n,m\in\MKnatural\) כך ש-\(n>m\), אחד מהם זוגי והאחר אינו זוגי )\(n\not\equiv m\mod2\)(, המקיימים:\[
a=\frac{m^{2}-n^{2}}{d_{1}\left(m,n\right)},\ b=\frac{2mn}{d_{1}\left(m,n\right)},\ c=\frac{m^{2}+n^{2}}{d_{1}\left(m,n\right)}
\]
\(\:\)
2 מספריםP-אדיים
לפני שנתחיל לעסוק בנושא זה נזכיר בקצרה כמה הגדרות הקשורות למטריקה.
\(\:\)
\(\:\)
הגדרה. פונקציה \(d:X\times X\rightarrow\MKreal\) תקרא מטריקה על הקבוצה \(X\) אם היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות:
חיוביות בהחלט: לכל \(x,y\in X\) מתקיים \(d\left(x,y\right)\geq0\) ובנוסף \(d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y\).
סימטריה: \(d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)\) לכל \(x,y\in X\).
א"ש המשולש: מתקיים \(d\left(x,z\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\).
קבוצה שעליה מוגדרת מטריקה נקראת מרחב מטרי.
הגדרה. כדור פתוח במרחב מטרי: יהי \(\left(X,d\right)\) מרחב מטרי ויהיו \(x\in X\) ו-\(0<r\in\MKreal\), הכדור הפתוח ברדיוס \(r\) סביב \(x\) הוא הקבוצה:\[
B_{d}\left(x,r\right):=\left\{ y\in X\mid d\left(x,y\right)<r\right\}
\]
\(\:\)
סימון:
נסמן את הריבוי של ראשוני \(p\) בפירוק של שלם \(a\) גם ע"י \(v_{p}\left(a\right):=\MKord_{p}\left(a\right)\) ונקרא ל-\(v_{p}\left(a\right)\)ההערכה ה-\(p\)-אדית של \(a\).
\(\clubsuit\)
לכל מספר \(1<N\in\MKnatural\) ולכל \(m\in\MKinteger\) ניתן להציג את \(m\) בבסיס ספירה \(N\) בצורה יחידה ע"י \(m=\MKsign\left(m\right)\cdot\sum_{i=0}^{k}a_{i}\cdot N^{i}\) )כאשר \(N\geq a_{i}\in\MKnatural_{0}\) ו-\(a_{k}\neq0\)( כמו כן ניתן לייצג כל מספר ממשי \(x\in\MKreal\) ע"י טור מהצורה \(x=\MKsign\left(x\right)\cdot\left[\sum_{i=0}^{k}b_{i}\cdot N^{i}+\sum_{i=1}^{\infty}c_{i}\cdot N^{-i}\right]\) )וזהו אכן טור מתכנס שכן מתקיים \(N\geq c_{i}\in\MKnatural_{0}\) לכל \(i\in\MKnatural\)(, לא אפרט כאן איך זה עובד מפני שאני מניח שכולנו יודעים לעבוד עם בסיסי ספירה שונים )אתם מוזמנים לקרוא על כך בוויקיפדיה: בסיס ספירה(. במספרים\(p\)-אדיים אנחנו מייצגים את המספרים השלמים4ולא רק אותם אבל זה מה שנלמד במסגרת קורס זה. בבסיס ראשוני \(p\) אלא שהערך המוחלט ה-\(p\)-אדי של \(n=\MKsign\left(n\right)\cdot\sum_{i=1}^{k}a_{i}\cdot p^{k}\) יהיה \(p^{-j}\) כאשר \(j:=\min\left\{ i:0\leq i\leq k,\ a_{i}\neq0\right\} \), כלומר הערך המוחלט הוא ההופכי של ערך הספרה הקטנה ביותר השונה מאפס5בייצוג של של המספר בבסיס \(p\). ולכן בעצם זה שקול לכך שניקח את ערך הספרה הגדולה ביותר של \(\sum_{i=0}^{k}a_{i}\cdot p^{-k}\); מסיבה זו דווקא הטור \(\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}\cdot p^{k}\) הוא זה שמתכנס עבור הערך מוחלט ה-\(p\)-אדי ולא הטור \(\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}\cdot p^{-k}\) )שמתכנס עבור הערך המוחלט הרגיל(. בהמשך נגדיר גם את המטריקה ה-\(p\)-אדית ע"י הערך המוחלט ה-\(p\)-אדי של ההפרש בין שני מספרים ואז בעצם מה שהמטריקה תבדוק הוא את ערך הספרה הקטנה ביותר של ההפרש בניגוד למטריקה הרגילה שעבורה אם היינו רוצים לעגל את החישוב באופן דומה היינו לוקחים דווקא את ערך הספרה הגדולה ביותר של ההפרש.
\(\clubsuit\)
הרעיון הוא שככל שהריבוי של \(p\) בפירוק של \(a\) גדול יותר כך \(a\) "קרוב יותר" לנקודת האפס של הערך המוחלט הזה.
\(\clubsuit\)
ניתן היה להגדיר את ההגדרה הזו לכל טבעי גדול מ-\(1\) ולאו דווקא ראשוניים, הסיבה להגדיר זאת דווקא כך היא "כלל המכפלה" המופיע בטענה הבאה.
\(\clubsuit\)
אודי הגדיר את הערך המוחלט בצורה שונה: \(\left|a\right|_{p}:=e^{v_{p}\left(a\right)}\) עבור \(e\in\MKreal\) כלשהו המקיים \(0<e<1\), כמובן שזה שקול )גיא בחר \(e:=p^{-1}\)(.
\(\clubsuit\)
כשמדברים על א"ש המשולש הלא ארכימדי מתכוונים לחלק המודגש של אי-השוויון, הוספתי את החלק האחר כדי להראות שמדובר בטענה חזקה יותר מא"ש המשולש הרגיל.
\(\clubsuit\)
א"ש המשולש הלא ארכימדי נובע מהעובדה שלכל \(0\neq a,b\in\MKinteger\) מתקיים \(v_{p}\left(a\pm b\right)\geq\min\left\{ v_{p}\left(a\right),v_{p}\left(b\right)\right\} \).
\(\clubsuit\)
ושוב הרעיון הוא שככל שהריבוי של \(p\) בפירוק של \(a-b\) גדול יותר כך \(a\) "קרוב יותר" ל-\(b\) במטריקה הזו.
\(\clubsuit\)
טענה זו שקולה לכך שמתקיים \(\MKord_{p}\left(a\pm b\right)=\min\left\{ \MKord_{p}\left(a\right),\MKord_{p}\left(b\right)\right\} \).
\(\clubsuit\)
בתרגול ראינו יותר מזה שאם \(a\neq0\) אז \(B_{d_{p}}\left(a,r\right)\) הוא בעצם הקבוצה \(\left\{ a+k\cdot p^{t}\mid k\in\MKinteger\right\} \) כאשר \(t:=\left\lceil \log_{p}\left(r\right)\right\rceil \), זוהי קבוצת האיברים של סדרה חשבונית אינסופית )בשני הכיוונים( ולכן ברור מניין הסימטרייה בין \(a\) ל-\(b\) וממילא השוויון הנ"ל.
\(\clubsuit\)
בפרט, אם \(p\neq2\), נציב \(b=1\) ונקבל שמתקיים \(\MKord_{p}\left(a^{p}-1\right)=\MKord_{p}\left(a-1\right)+1\) לכל \(0\neq a\in\MKinteger\).
הגדרה 2.1. הערך המוחלט ה-\(p\)-אדי לכל \(p\in\MKnatural\) ראשוני נגדיר הערך המוחלט ה-\(p\)-אדי ע"י )לכל \(a\in\MKinteger\)(:\[
\left|a\right|_{p}:=\begin{cases}
p^{-v_{p}\left(a\right)} & a\neq0\\
0 & a=0
\end{cases}
\]
טענה 2.2. נוסחת המכפלה: לכל \(0\neq a\in\MKinteger\) מתקיים6כאשר \(\left|a\right|\) הוא הערך המוחלט הרגיל של \(a\) והמכפלה עוברת על כל הראשוניים.\(\begin{alignedat}{1}\left|a\right|\cdot\prod_{p}\left|a\right|_{p}=1\end{alignedat}
\).
טענה 2.3. לכל \(p\in\MKnatural\) ראשוני הערך המוחלט ה-\(p\)-אדי מקיים את שלוש התכונות הבאות7היינו מצפים מכל ערך מוחלט שיהיה אי-שלילי, כפלי ויקיים את א"ש המשולש.:
חיוביות בהחלט: לכל \(a\in\MKinteger\) מתקיים \(\left|a\right|_{p}\geq0\) ובנוסף \(\left|a\right|_{p}=0\Longleftrightarrow a=0\).
כפליות: לכל \(0\neq a,b\in\MKinteger\) מתקיים \(\left|a\right|_{p}\cdot\left|b\right|_{p}=\left|ab\right|_{p}\).
א"ש המשולש הלא ארכימדי: לכל \(0\neq a,b\in\MKinteger\) מתקיים \(\boldsymbol{\left|a\pm b\right|_{p}\leq\max\left\{ \left|a\right|_{p},\left|b\right|_{p}\right\} }\leq\left|a\right|_{p}+\left|b\right|_{p}\).
הגדרה 2.4. המטריקה ה-p-אדית בהינתן \(p\in\MKnatural\) ראשוני נגדיר את המטריקה ה-\(p\)-אדית ע"י )לכל \(a,b\in\MKinteger\)( \(d_{p}\left(a,b\right):=\left|a-b\right|_{p}\).
טענה 2.5. המטריקה ה-\(p\)-אדית היא אכן מטריקה.
טענה 2.6. יהיו \(a,b\in\MKinteger\) כך ש-\(v_{p}\left(a\right)\neq v_{p}\left(b\right)\), מתקיים \(\left|a\pm b\right|_{p}=\max\left\{ \left|a\right|_{p},\left|b\right|_{p}\right\} \).
טענה 2.7. יהיו \(a\in\MKinteger\), \(p\in\MKnatural\) ראשוני ו-\(b\in B_{d_{p}}\left(a,r\right)\); מתקיים \(B_{d_{p}}\left(b,r\right)=B_{d_{p}}\left(a,r\right)\).
למה 2.8. יהי \(p\in\MKnatural\) ראשוני ויהיו \(a,b\in\MKinteger\) כך ש-\(a\equiv b\not\equiv0\mod p\), מתקיים:\[
\sum_{k=0}^{p-1}a^{p-1-k}\cdot b^{k}\equiv0\mod p
\]
טענה 2.9. יהיו \(p,t\in\MKnatural\) כך ש-\(p\) ראשוני ויהיו \(a,b\in\MKinteger\) כך ש-\(a\equiv b\mod p^{t}\), מתקיים \(a^{p}\equiv b^{p}\mod p^{t+1}\).
מסקנה 2.10. לכל \(a,b\in\MKinteger\), אם \(d_{p}\left(a,b\right)<1\) אז \(d_{p}\left(a^{p},b^{p}\right)<d_{p}\left(a,b\right)\).
\(\:\)
3 הצגת מספר כסכום של שני ריבועים
הגדרה 3.1. נאמר שמספר \(n\in\MKinteger\)ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים אם קיימים \(x,y\in\MKinteger\) כך ש-\(n=x^{2}+y^{2}\).
\(\clubsuit\)
כמובן שמהגדרה א"א להציג שלמים שליליים כסכום של שני ריבועים.
\(\clubsuit\)
כמובן שניתן לדרוש ש-\(x\) ו-\(y\) יהיו אי-שליליים.
שאלה:
מתי ניתן להציג מספר טבעי כסכום של שני ריבועים?
\(\clubsuit\)
כמובן ש-\(2\) ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים:\(2=1^{2}+1^{2}\).
\(\clubsuit\)
כמובן שלכל \(n\in\MKinteger\) ניתן להציג \(n^{2}\) כסכום של שני ריבועים )\(n^{2}=n^{2}+0^{2}\)( ובפרט עבור \(2<p\in\MKnatural\) ראשוני המקיים \(p\equiv3\mod4\).
למה 3.2. יהי \(2<p\in\MKnatural\) ראשוני, התנאים הבאים שקולים:
\(p\equiv1\mod4\).
קיים \(x\in\MKfield_{p}\) כך ש-\(x^{2}=-1\) )בשדה(.
קיימים \(x,y\in\MKinteger\) לא טריוויאליים )כלומר \(x\not\equiv0\mod p\) וגם \(y\not\equiv0\mod p\)8העובדה שאחד מהם אינו טריוויאלי גוררת שגם האחר אינו טריוויאלי.( כך ש-\(x^{2}+y^{2}\equiv0\mod p\).
טענה 3.3. יהיו \(q\in\MKnatural\) ו-\(r,s\in\MKinteger\) כך ש-\(q=r^{2}+s^{2}\) ו-\(q\) ראשוני, נסמן \(\pi:=r+si\), מתקיים \(\MKinteger\left[i\right]=\MKinteger+\pi\cdot\MKinteger\left[i\right]\).
משפט 3.4. יהי \(2<p\in\MKnatural\) מספר ראשוני, \(p\) ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים אם"ם \(p\equiv1\mod4\).
טענה 3.5. לכל \(n,m\in\MKnatural\) שניתן להציגם כסכום של שני ריבועים ניתן להציג גם את \(n\cdot m\) כמכפלה של שני ריבועים.
מסקנה 3.6. יהי \(n\in\MKnatural\) ניתן להציג את \(n\) כסכום של שני ריבועים אם"ם לכל \(p\in\MKnatural\) המקיים \(p\equiv3\mod4\) מתקיים \(\MKord_{p}\left(n\right)\in\MKeven\).
הגדרה 4.2. הצגה עשרונית סופית לכל סדרה סופית \(\left(a_{n},\ldots,a_{2},a_{1},a_{0},a_{-1},a_{-2},\ldots,a_{-m}\right)\) שכל איבריה ב-\(\text{Digits}\) נזהה את הסדרה עם המספר:\[
\sum_{k=-m}^{n}a_{k}\cdot10^{k}
\]ונכתוב אותה ברצף )ללא פסיקים(, כך9הנקודה המודגשת באדום נקראת הנקודה העשרונית.:\[
a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}{\color{red}\boldsymbol{.}}a_{-1},a_{-2}\ldots a_{-m}:=\sum_{k=-m}^{n}a_{k}\cdot10^{k}
\]
הגדרה 4.3. הצגה זו נקראת ההצגה העשרונית של המספר \(\sum_{k=-m}^{n}a_{k}\cdot10^{k}\), וכשנרצה לכתוב את הנגדי שלו נוסיף סימן "\(-\)" בקצה השמאלי של המחרוזת. לדוגמה: \(93856.7664:=4\cdot10^{-4}+6\cdot10^{-3}+6\cdot10^{-2}+7\cdot10^{-1}+6\cdot10^{0}+5\cdot10^{1}+8\cdot10^{2}+3\cdot10^{3}+9\cdot10^{4}\), קיים מנהג מקובל להוסיף "מפריד אלפים" בין כל שלישיית ספרות )החל מהנקודה העשרונית(, כך: \(93,856.7664\).
\(\clubsuit\)
ניתן להציג בצורה זו כל מספר טבעי וכל שבר מצומצם \(\frac{p}{q}\in\MKrational\) כך שהראשוניים היחידים בפירוק של \(q\) הם \(2\) ו/או \(5\).
\(\clubsuit\)
הצגה כזו נקראת הפיתוח העשרוני של \(x\) והיא יחידה עד כדי התחכמויות מהצורות הבאות:\[
\frac{1}{2}=0.5=0.49999999\ldots=0.5000000\ldots
\]
\(\clubsuit\)
התחכמות זו אפשרית רק עבור רציונליים שהפיתוח העשרוני שלהם סופי10כלומר הראשוניים היחידים בפירוק של המכנה שלהם )בהצגה המצומצמת( הם \(2\) ו/או \(5\)., א"כ נאמר שאם יש למספר פיתוח עשרוני סופי אז זהו הפיתוח העשרוני שלו למרות שניתן להציגו גם אחרת.
\(\clubsuit\)
כמובן שכל מה שנאמר בפרק זה על השיטה העשרונית נכון לכל בסיס ספירה אחר )עם ההתאמות הנדרשות: יש להחליף את \(2\) ו-\(5\) בראשוניים המופיעים בפירוק של בסיס הספירה(.
\(\clubsuit\)
כלומר אם המכנה זר ל-\(10\) אז המחזוריות מתחילה מיד לאחר הנקודה העשרונית.
למה 4.4. לכל \(x\in\MKreal\) קיימת סדרת \(\left(a_{k}\right)_{k=-\infty}^{n}\) ספרות11הכוונה היא לסדרה המהווה פונקציה )ככל סדרה( שהתחום שלה הוא \(\left\{ k\in\MKinteger\mid k\leq n\right\} \) והטווח שלה הוא \(\text{Digits}\). המקיימת:\[
x=\MKsign\left(x\right)\cdot\sum_{k=-\infty}^{n}a_{k}\cdot10^{k}
\]
הגדרה 4.5. הצגה עשרונית אין-סופית לכל סדרה סופית \(\left(a_{k}\right)_{k=-\infty}^{n}\) שכל איבריה ב-\(\text{Digits}\) נזהה את הסדרה עם המספר:\[
\sum_{k=-\infty}^{n}a_{k}\cdot10^{k}
\]ונכתוב אותה ברצף )ללא פסיקים(, כך:\[
a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}{\color{red}\boldsymbol{.}}a_{-1},a_{-2}\ldots:=\sum_{k=-\infty}^{n}a_{k}\cdot10^{k}
\]
הגדרה 4.6. הצגה זו נקראת ההצגה העשרונית של המספר \(\sum_{k=-\infty}^{n}a_{k}\cdot10^{k}\), וכשנרצה לכתוב את הנגדי שלו נוסיף סימן "\(-\)" בקצה השמאלי של המחרוזת.
הגדרה 4.7. יהי \(x\in\MKreal\), נאמר שהפיתוח העשרוני של \(x\) הוא מחזורי אם עבור סדרת הספרות המתאימה \(\left(a_{k}\right)_{k=-\infty}^{n}\)12בפרט הפיתוח העשרוני של \(x\) אינו סופי. להצגה העשרונית של \(x\) קיים \(0\geq K\in\MKinteger\) וקיים \(T\in\MKnatural\) כך שלכל \(K>k\in\MKinteger\) מתקיים \(a_{k}=a_{k-T}\) ובמקרה נכתוב את ההצגה העשרונית של בצורה מקוצרת כך:\[
a_{n}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}{\color{red}\boldsymbol{.}}a_{-1},a_{-2}\ldots a_{K}a_{K-1}\overline{a_{K-1}a_{K-2}\ldots a_{K-T}}
\]כמובן שאם קיימים \(K\) ו-\(T\) כאלה אז קיימים אינסוף כאלה13כל כפולה של \(T\) תתאים לתפקיד של \(T\) וכל \(K+qT\) יתאים לתפקיד של \(K\)., המינימלי מבין הטבעיים המקיימים את התפקיד של \(T\) בהגדרה יקרא אורך המחזור של הפיתוח העשרוני.
טענה 4.8. יהי \(x\in\MKreal\), הפיתוח העשרוני של \(x\) הוא סופי ו/או מחזורי אם"ם \(x\in\MKrational\).
טענה 4.9. יהי \(\frac{a}{b}\in\MKrational\) שבר מצומצם הפיתוח העשרוני של \(\frac{a}{b}\) סופי אם"ם קיימים \(n,m\in\MKnatural_{0}\) כך ש-\(2^{n}\cdot5^{m}=b\).
טענה 4.10. יהי \(\frac{a}{b}\in\MKrational\) שבר כך ש-\(b\) זר ל-\(10\) ותהא \(\left(a_{k}\right)_{k=-\infty}^{n}\) סדרת הספרות המתאימה להצגה העשרונית של \(\frac{a}{b}\), קיים \(T\in\MKnatural\) כך שלכל \(0>k\in\MKinteger\) מתקיים \(a_{k}=a_{k-T}\).
טענה 4.11. יהי \(p\in\MKnatural\) ראשוני שאינו \(2\) או \(5\), אורך המחזור של הפיתוח העשרוני של \(\frac{1}{p}\) הוא \(e_{p}\left(10\right)\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );